Параметрическая флейта

Для нетерпеливых - ссылка на видео в конце поста

Существует два основных подхода, с которым можно подойти к 3д моделированию такого проекта, как флейта. Первый – это воспроизвести реальный инструмент, сняв с него мерки. Но в таком случае нужно отдельно снимать мерки с инструментов разных регистров, потому что они не масштабируются напрямую. Кроме того, в духовых инструментах полная неразбириха со стандартизацией нот, диапазон средней ля от 415 Гц в случае некоторых барокко-инструментов до 446 Гц в современных, такие инструменты не будут звучать адекватно даже друг с другом. И если нужно сделать инструмент, который будет попадать в ноты с органом, который построили сотни лет назад, и он звучит на 30 центов ниже современного стандарта, нужно будет найти флейту из той эры и того региона, снять с этой флейты все мерки и воспроизводить этот конкретный инструмент. Кроме того, что все эти вариации на тему нужно будет перемерять каждый новый раз, в некоторых случаях такие инструменты просто не сохранились.

Другой подход – это собрать математическую выкладку работы флейты в параметрическую модель. Например, длину флейты можно выразить как 220 мм и диаметр как 16 мм. А можно привязать длину и диаметр к звучащей ноте. Можно расположить отверстие диаметром 8 мм на отрезке 150 мм. А можно выразить эти параметры из ноты, которую модулирует это отверстие.  

В случае успеха, такая модель сможет выдавать инструмент любого регистра с любой концертной ля, опираясь на входные данные, а не на реальные экземпляры.

Кроме того, подобная модель позволит создавать инструменты для людей с поврежденными конечностями или для людей с полидактилией, так как полная математическая выкладка позволит отойти от традиционных паттернов пальцевания и изобрести собственные.

Но чтобы это сделать, надо погрузиться в то, как работает флейта.

Индуцирование звука в флейте происходит из-за рассечения воздуха о край инструмента. В современных оркестровых флейтах это происходит, когда флейтист подает струю воздуха таким образом, что она сталкивается с лезвием флейты. Часть потока отправляется в тело флейты, часть – наружу. 

В современных блок флейтах, направление струи воздуха контролируется специальным каналом, расположенным прямо напротив лезвия.  

В обоих случаях рассечение воздуха происходит пофазно - две образованные струи чередуются друг с другом. Частота, с которой эти две струи чередуются друг с другом, определяет звучащую ноту. Чем быстрее происходит смена потоков – тем выше нота.

Соответственно, частоту смены этих потоков определяют время существования внешней струи, и время существования внутренней струи. 

Поток воздуха, поступая в тело флейты, где уже содержится воздух, естественным образом, создает фронт повышенного давления. Этот фронт создает сопротивление, выталкивая воздух во второй цикл. Одновременно, фронт повышенного давления двигается в сторону меньшего сопротивления – к концу флейты. Когда этот фронт доходит до конца, он рассеивается в атмосфере, и образует акустическую волну. После этого полный цикл повторяется.  

Время, за которое фронт повышенного давления проходит от начала до конца, зависит от расстояния, которое нужно преодолеть и от скорости движения этого фронта. Скорость, в данном случае, это скорость звука. А расстояние – это расстояние от точки рассечения до конца тела флейты.  Чем длиннее флейта – тем больше времени нужно волне, чтобы закончить цикл, тем ниже нота. Флейта короче – за меньшее время волна проходит свой цикл, нота выше.  

Разумеется, фронт повышенного давления – объект трехмерный. Для полного выхода из тела инструмента кроме перемещения от точки рассечения до конца тела флейты этот фронт должен подвинуться на часть своей собственной длины. Это виртуально увеличивает длину флейты на величину, называемую концевой поправкой. 

Естественным образом, размер фронта повышенного давления зависит от диаметра тела, через которое должен двигаться этот фронт, что обусловливает зависимость концевой поправки от диаметра флейты.  

Кроме цикла движения волны внутри инструмента, у нас есть цикл выдува воздуха наружу инструмента, который мы комбинируем с циклом формирования фронта повышенного давления. Время, затраченное на оба этих цикла, корректирует длину флейты с другой стороны, и увеличивает эффективную длину еще больше. Мы назовем эту корректировку поправкой на свисток.  

Время образования фронта повышенного давления зависит от размера этого фронта, и, следовательно, от диаметра флейты. Время, затраченное на выдув воздуха наружу зависит от площади отверстия, через которое этот поток воздуха уходит.  

Сумма реальной длины и двух поправок дает мнимую длину цилиндрической флейты, которая вместе со скоростью звука и определяет звучащую ноту.

Так как мы не можем напрямую менять скорость звука, эффективная длина флейты – это параметр, которым мы манипулируем, чтобы менять звучащую ноту.

Самый очевидный способ сделать это – это менять реальную длину флейты, как в пан-флейте, т.к. диаметр слишком незначительно влияет на эффективную длину. Но это не наш путь. 

Наш путь – это тональные отверстия. Если на пути фронта повышенного давления встречается отверстие наружу, часть давления начнет выходить через это отверстие, позволяя фронту испариться раньше, сокращая цикл волны. Таким образом, цилиндрическая флейта с открытым отверстием, имеет меньшую мнимую длину и звучит выше чем цилиндрическая флейта, в который все отверстия закрыты.

Разница между этими двумя мнимыми длинами описывается

- расстоянием от центра тонального отверстия до конца новой мнимой длины;

- толщиной стенки, так как стенка создает собственный небольшой цилиндр, который нужно пройти;

- диаметром тонального отверстия, так как он определяет, какую часть фронта это отверстие может на себя принять;

- и диаметром самой флейты, так как он определяет размер фронта.

Обычно эту зависимость выражают через первый параметр, однако я собираюсь печатать флейту на 3Д принтере, и могу независимо варьировать эти параметры, и возможность установить отверстия на отрезке, которое выбрал я, а не уравнение, может помочь улучшить эргономику. Поэтому я выразил это уравнение через диаметр тонального отверстия, которое 3д печатью легко регулируется.

Паттерн пальцевания я позаимствовал у современной блок флейты, позволяющей играть хроматическую гамму полностью. Для первого прототипа выбрал диапазон сопрано, где самая низкая нота – до четвертой октавы. Из этого можно посчитать мнимую длину инструмента. Из частоты фундаментальной ноты можно посчитать частоты нот первого регистра. Из этих частот можно посчитать мнимые длины первого регистра. Выразив все через формулы, я могу подставлять только значения для самой низкой ноты, все остальное обновится автоматически.

В таком случае значение дельта S для первого отверстия равно разнице между мнимыми длинами, которое модулирует это отверстие. До и до диез. Второго – от до диез до рэ. И так далее. Пока мы не доходим до фа, где разницу нужно считать не от предыдущей ноты, а от первой до, так как именно это расстояние модулирует это отверстие. И так по восходящей.

Внутренний диаметр был установлен равным 21 мм, и окно выходного отверстия 4,8 на 6,8, без особых обоснований, кроме того, что я снял эти размеры с того, что под рукой лежало. Из этих значений модель считает концевую поправку и поправку на свисток, из которых в свою очередь посчитана реальная длина.

Положение тональных отверстий я буду регулировать вручную.

Толщина стенок и внутренний диаметр будут одинаковыми для всех отверстий, кроме самых низких. Для улучшения эргономики я смоделировал постамент для мизинца, т.к. это самый короткий палец, и этот постамент должен учитываться в толщине стенки. Дополнительно отверстия для мизинца развернуты по оси.

Из этих параметров модель высчитывает диаметр тонального отверстия.

Самую острую часть свисткового механизма я зафиксировал в 0.4 мм, так как 3д-печатать элементы тоньше ненадежно в моем текущем сетапе. Угол установил в 30 градусов. Выходное отверстие воздушного канала зафиксировал как 0,6 мм, и ширину стенок как 1,6 мм. Для корректной печати я смоделировал жертвенный слой для правильного мостования, который после печати необходимо удалить.

Модель построена довольно простым способом, одним поворотом основное тело, вторым поворотом – свистковый механизм и воздушный канал. Одна экструзия завершает геометрию верхней части. Тональные отверстия также простые экструзии c соответствующих скетчей.

В виду своих собственных анатомических особенностей я также подготовил зеркальную копию модели, так как мне проще управляться со сложным пальцеванием нижней половины регистра левой рукой.

Итого модель автоматизирована до такой степени, что от меня требуется только ввести самую низкую ноту; начало и конец отрезка, на котором расположены тональные отверстия; диаметр тела флейты; высоту и ширину выходного отверстия свисткового механизма.

Все остальное – диаметры всех тональных отверстий, их положение, длина флейты и прочее высчитывается автоматически.

И в теории, все должно работать. Но это в теории.

В самом первом прототипе я допустил две ошибки. Во-первых, забыл внести в важное уравнение поправку на свисток, и потому все ноты звучат на два полутона ниже. Во-вторых, я смоделировал пьедестал для мизинца, который, разумеется, увеличивает диаметр отверстий. Это сделало их слишком большими. Отверстия под безымянный палец хоть и были относительно адекватного диаметра, были разнесены довольно далеко друг от друга, также мешая управляться с ними. Звук пока вялый, однако само интонирование было не худшим.

После корректировки уравнений и отказа от пьедестала для мизинца начали появляться первые результаты, хоть и с некоторыми недочетами.

Во-первых, я не рад звуку, он довольно вялый и мерзкий, но это пока не важно, я решил сосредоточиться на хроматизме. Начиная с Фа диез, ноты высят все больше и больше, абсолютно теряя связь с равнотемперированым строем. Даже ноты, которые соответствуют своему положению на тюнере, даются только с большим уровнем контроля техники. После некоторых размышлений, я заметил, что верхние отверстия расположены нехарактерно близко к свистковому механизму. Это скорее всего вызвано слишком большим отрезком поправки на свисток. Чтобы уменьшить эффект свистка на длину инструмента, я увеличил размеры выходного отверстия свистка, и обе проблемы пропали почти полностью.

Больше не приходится прилагать так много усилий, чтобы попадать в ноты в первой половине первого регистра, и даже вторая половина более-менее строит. Все отклонения я сначала списал на мультифункциональность некоторых отверстий, которые модулируют несколько нот сразу, но реальное решение всплывет чуть дальше по курсу.

После этого настало время протестировать модель на масштабируемость, для чего необходимо понимать, какие элементы должны масштабироваться, а какие – нет.

Длина флейты, очевидно, зависит от мнимой длины инструмента, и будет масштабироваться. Чтобы зафиксировать отношение диаметра к реальной длине, он был выражен напрямую через эффективную длину. Размеры свисткового механизма на текущий момент также выражены через мнимую длину.

Элементы, которые масштабировать не стоить – это тональные отверстия, особенно при масштабировании в нижний регистр, потому что в таком случае придется масштабировать музыканта. Поэтому надо постараться сохранить размер тональных отверстий, поменяв их положение.

Таким образом, теперь модель требует меньше входных данных – только самую низку ноту, начало и конец тональных отверстий. К автоматически рассчитываемым параметрам добавились высота и ширина выходного отверстия свисткового механизма и диаметр.

Масштабировать я планировал в обе стороны, и если с более высоко звучащей сопранино флейтой проблем не намечалось, ниже звучащий альт уже явно не поместится в рабочий объем моего принтера. Поэтому я разбил модель на три части и смоделировал поворотное соединение, известное как замок Ангуса.

После этой работы, я попробовал силы модели в масштабировании и напечатал рабочую модульную флейту сопранино.

После верификации результатов настало время масштабировать модель в сторону большего по размерам альта. 

После завершения печати меня ожидало очередное разочарование. Во-первых, звук довольно «воздушный», вместе с нотой слышно много «ветра». На записи все звучит еще пристойно, но вживую этот эффект намного очевиднее. Во-вторых, начиная с До, ноты начинают заметно высить.

Первую проблему я выследил довольно быстро. Когда я масштабировал инструмент, я отнес окно свисткового инструмента к масштабируемым элементам, так как он влияет на звучащую ноту. Проблема в том, что работа этого элемента так же напрямую зависит от плотности воздуха, который врезается в лезвие свистка. При недостатке этого давления часть воздуха не превращается в стоячую волну, а просто становится движением воздуха, который мы и слышим, как ветер. И вместе с масштабированием геометрии я практически попытался масштабировать законы аэродинамики, что не реально.

Так как реально важный параметр – это площадь, а не высота и ширина, я ограничил высоту окна в 6,8мм, и дальнейший рост площади окна происходит из-за его расширения, сохраняя необходимое значение площади. И это решило проблему качества звука.

Вторую проблему – нарушение хроматизма во второй половине регистра я списал на одну из знакомых причин – слишком близкое расположение тональных отверстий к свистковому механизму, но повторюсь, позже я выясню реальную причину нарушения хроматизма. При изменении положения отверстий меняется их диаметр, и чтобы сохранить разумный размер тональных отверстий, пришлось уменьшить внутренний диаметр флейты.

На данный момент, технически, все работает, но эти результаты требуют огромного количества усилий и контроля техники, что меня не устраивало. Плюс, качество звука тоже не радует.

Так как расстояния между пальцами начали заметно увеличиваться, я сместил некоторые отверстия в более эргономичные положения и сгруппировал их в две секции под каждую руку. Так как ручной подбор положения отверстий иногда выражается в откровенно идиотских результатах, два отверстия – 3 и 5 – я выразил через их положение, дополнительно ограничив их максимальный диаметр, чтобы он не превышал треть внутреннего диаметра флейты. В дальнейшем я слегка пересмотрел конкретное значение делителя. В этом случае, модель считает положения этих двух отверстий из их диаметров. Положения всех остальных отверстий теперь считаются из расстояния между этими отверстиями, и из этих положений считаются их диаметры. 

И так как большинство проблем возникают из-за свисткового механизма, я решил поменять его геометрию, хотя опять же, через минуту я найду реальный источник проблем правильного хроматизма. Если стенки вокруг тонального отверстия создают сопротивление для выходящего воздуха, то стенки вокруг свисткового механизма должны создавать подобный же эффект. Изначально геометрия свисткового механизма повторяла дугу внутреннего диаметра. Из-за подозрений, что я пытаюсь применить двухмерную математику к трехмерному объекту я сделал лезвие прямым, как и воздушный канал. Это убрало необходимость в жертвенном слое для правильного мостования.

Кроме этого типичная геометрия свисткового механизма включает в себя угол, о который разбивается поток воздуха. Однако функционирующая часть в этом механизме сам край угла, все остальное – пустая масса, которая там есть, потому что обычными инструментами для работы по дереву этот край не сделать без этого угла. Поэтому я убрал этот угол и оставил только край, стенку шириной 0.4 мм. Одновременно, я добавил фаску с внутренней стороны воздушного канала. После нескольких попыток я остановился на 0,8 мм. Я также пробовал добавлять фаску с фронтальной стороны, и менять угол воздушного канала, но это не оказывало большого влияния на тембр или хроматизм.

И тут я обнаружил опечатку в математике, которая и портила хроматизм все это время, что окончательно уничтожило совместимость с предыдущими успехами. Но это не страшно. 

Так как большая часть проблем возникают именно со стороны свисткового механизма, я зафиксировал относительную длину поправки на свисток, выразив через нее площадь выходного отверстия. Этот подход позволил также значительно упростить выражение, ответственное за расчет диаметра. Что наконец связало два этих значения с фундаментальной нотой и только с ней.

И таким образом модели теперь нужен только один входной параметр – самая низкая нота, все остальное компьютер теперь считает сам.

С вышеописанными изменениями ноты контролируются намного легче, с намного лучшим звуком.

Новая модель звучит намного лучше предыдущих успехов, без явных тремоло и вибрато. Разница в громкости между инструментами космическая.

Ноты, модулируемые самыми маленькими отверстиями, слегка низят. И у нескольких нот слышен компонент из верхнего регистра. Подобный эффект я объясняю слишком близким расположением маленьких отверстий, которые при спуске давления мешают друг другу. Этот дефект требует больше усилий при попытке дотянуть ноты, и создает подобный двухголосый эффект, так как для доступа ко второму регистру нужно использовать больше давления, деля стоячую волну пополам.

Такой вывод я сделал из наблюдений, что этот тембр характерен для нот, где используется меньше крупных отверстий и больше мелких.

Для борьбы с этим эффектом я слегка раздвинул отверстия для мизинца и безимянного пальца.

После этого стоит верифицировать результаты и снова напечатать сопрано и сопранино с новой моделью.

Учитывая, сколько проблем было с масштабированием в нижний регистр, я оставлю тенор и басы на следующий раз. 

Весь текст в видео-формате + допы 

https://youtu.be/UOtjtWKbulg

Демо конечного результата

https://youtu.be/3eFEqIWkfGs